月球運動 (1)：平朔、定朔概論

在【太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數】一系列文章中，我們得知了在西元6世紀時東亞終於慢慢掌握到太陽的不均勻視運動。這個現象除了影響與太陽有關的推算之外，同時也影響了朔望月的計算。在這篇文章中，我們會解釋太陽的不均勻視運動如何影響朔望月的長度，同時也會介紹另一個影響朔望月長度的「月球橢圓軌道與其進動現象」。

古代東亞的曆法一直到唐代「戊寅元曆」(西元619年 - 西元665年) 前都是使用「平朔」，戊寅元曆開始嘗試使用「定朔」但因為出現連續四個大月又改回「平朔」，下一部曆書「麟德曆」(西元666年-西元728年) 改用修正版的「進朔」，而一直到了大元時的「授時曆」(西元1281年-西元1387年) 才真正採用「定朔」。關於「進朔」的使用我們會在日後說明。

所謂的「平朔」即每個「朔望月」都採用相同長度，各部曆書上使用的數字略有不同，從最早的「太初曆」使用的數字29.5308642天，之後的幾部曆書如西元237年啟用的「景初曆」使用的數字29.530599天就已經很接近現代「平均朔望月」觀測的數字29.530588天。因為月球繞地球公轉週期遠小於地球繞日週期，「朔望月」的觀測數值相較也相對容易得多，也因此「朔望月」的數字自然比「回歸年」的數字更早接近當代的數值。

但不管數字為何，平朔採用的方式是每個朔望月長度相同，以現代的數字來說就是29.530588一直累加下去，我們在【古代怎麼推算朔日 (1)：概論】也曾提到過去如何使用平朔來計算朔日。

使用「平朔」會造成的現象是大小月會交替出現，而大概在第17個月會出現連續大月。原因很簡單，因為朔望月的平均天數剛好略大於29.5天，大月小月交替是必然的結果，讓我們來實際操作看看吧。

假設第一個合朔時分是在該日凌晨0時0分，那我們知道下一個朔日即是29.530588天後，也就是過了完整的29天，第30天會是下一個月的朔日，亦即第一個月的長度是29天。繼續算下去29.530588繼續加29.530588為59.061176，也就是從最初開始過了完整的59天，第60天是新的月之朔日，換句話說第二個月的長度是30日。

如此操作下去，我們計算看看前60個月每個月的長度為多少日，請見下表：

1	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29
16	30	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29
31	30	29	30	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29
46	30	29	30	29	30	30	29	30	29	30	29	30	29	30	29

我們可以看到確實大小月交替出現，第17個月會出現連續大月，這是使用「平朔」時的必然結果，同時也不可能出現連續小月。

後來古代東亞慢慢能掌握「朔望月」的實際長度而非平均長度後，便慢慢想改成更貼近真實狀況的「定朔」了，也就是照著實際「朔望月」的真實長度來定每個月的長度。

詳細的計算方式會在日後慢慢介紹，讓我們先來看一下影響「朔望月」長度的幾個比較重要的因素，第一個是「月球橢圓軌道與橢圓軌道的進動現象」，請見下圖。

上圖的月球軌道並非實際比例，除該軌道半長軌有放大之外不然會根本看不到，離心率也放大10倍方便讀者觀察想像，月球橢圓軌道的離心率約0.0549，視覺上其實是個很接近正圓的橢圓。圖中我們可以看到，月球軌道的長軸有在緩慢旋轉，大約以8.85年左右旋轉一圈，讀者若有耐心的話看到最後應該可以看到該軸終於轉完一圈。因為月球繞地也因橢圓軌道的關係同樣也是不均勻的視運動，若朔的相位接近「近地點」時，則該朔望月的長度會較短，相反地，朔的相位接近「遠地點」時，則該朔望月的長度會較長，加上此長軸的緩慢旋轉即「進動」的現象，造成每個「朔望月」的長度便稍微有不同。

另一個影響因素倒不直接跟月球有關，而是一直提及的太陽視運動的不均勻現象，請見下兩圖(為方便讀者觀察與想像，地球與月球的橢圓軌道都誇大繪製，實際上的軌道都很接近視覺上的正圓)：

我們可以看到在地球接近「近日點」的時候，因為地球繞日的角速度較快，月球回到「朔」要花更長的時間，圖中的天數遠超過我們認知的長度，因為這些軌道並非實際上的橢圓軌道。

上圖是離「近日點」較遠處，因為地球繞日的角速度較慢，因此月球回到「朔」的天數便短得多，我們可以看到相同的天數月球已經繞過「朔」，而進到下一個月了。

上兩圖同時也有將「月球橢圓軌道的不均勻視運動及其進動現象」模擬進圖中。

下兩圖則是按照真實的地球繞日與月球繞地的「離心率」所畫出的圖，可以看到兩個軌道都很接近正圓，不過為了方便讀者觀察，月球軌道的半長軸還是放大了不然會完全看不到。

上圖的地球運行靠近「近日點」，地球繞日的角速度較快，月球需多繞一些方能回到「朔」的相位，因此其天數相較下圖較長些。

上圖比較靠近「遠日點」，地球繞日的角速度較慢，月球花少一點點的時間便可回到「朔」的相位，因此可以看到此朔望月的天數較短些。

雖然有眾多影響「朔望月」長度的因素，但朔望月的長度不會長過30天，也不會短於29天，根據NASA的數據，目前所知最長的天數是29.84089天，最短則是29.26574天。因此照實際朔望月來排定月份的長度，天數始終會是29天或30天。


這篇文章中我們簡單介紹了一些會影響「朔望月」長度的因素，日後的文章我們會繼續介紹古代怎麼利用觀測的數值來修正「朔望月」的長度，進而採用「進朔」以及最終的「定朔」。

太陽運動 (3)：中心差

在【太陽運動 (2)：黃道與天球赤道，真近點角與平近點角】最後，我們做圖後發現了一個看似sine(正弦函數)的圖形，這也是【太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數】中我們意外發現史書中的數字所能畫出的圖形，以當時古代曆法的年代，當然不會知道這張圖代表的意義，但測量與天體運動的原理是不會改變的，我們來使用後代的數學來解釋為什麼看到了這樣子的圖形。

事實上，這張圖描述的即是近代天文物理學二體問題中有名的「中心差」(equation of the center)。

要推導接下來的式子其實步驟很多，以筆者的參考書籍【Methods of celestial mechanics】就花了$17$頁左右的篇幅，就科普文的來說不太適合，真要推導也只會變成抄書而已。筆者在此就簡單介紹幾個重要的步驟，以及會運用到的一些定理，若讀者有興趣可以直接前往閱讀。

我們的目的是要簡化「真近點角減平近點角」，但直接展開不容易，透過一些輔助會簡單得多。因此在介紹前，要先讓大家認識克卜勒方程式(Kepler's equation)，乍聽之下是大家熟知的克卜勒定律：橢圓軌道、角動量守恆、公轉周期平方與軌道半長軸立方成正比，但其實克卜勒方程式指的是另一條有名的方程式，也是一條與描述橢圓軌道有關的方程式：

為方便說明，地球軌道非真實比例

克卜勒在此引入了一個圓心O的輔助圓，假設在想像中的情況下行星以等速率圓周運動繞圓心O公轉，而當行星從「近日點」以等角速度行進至圖中的位置(圖中之「等角速度」)時，在相同時間內，若地球以按照克卜勒定律的方式運行，則會運行到圖中「地球」的位置。從地球向線段(O-近日點)做垂線並延伸至該輔助圓，可以得到點P。圖中的$\angle$地球-太陽-近日點稱為「真近點角」(true anomaly)，$\angle$等角速度-O-近日點稱為「平近點角」(mean anomaly)，$\angle$P-O-近日點則稱為「偏近點角」(eccentric anomaly)。

推導之後可得克卜勒方程式： \[ M = E - e \sin E \]

上式中的$M$是「平近點角」，$E$是「偏近點角」，$e$則是「離心率」即橢圓方程式：$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 $ ，其中離心率即為 $ e = \sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}} $。

這裡引入了一個「偏近點角」，透過偏近點角，將這些週期函數做傅立葉級數展開會比較容易些，同時我們也需要運用「真近點角$T$」與「偏近點角$E$」的關係：\[ \cos T = \frac{\cos E - e}{ 1 - e \cdot \cos E} \]

有了這幾個式子，我們可以對這些週期函數做傅立葉級數展開，即大家可能熟知的技巧： \[ \begin{align*} &f(x) = a_{0} + 2 \sum_{1}^{\infty} a_{p} \cos px + 2 \sum_{1}^{\infty} b_{p} \sin px \\ &a_{0} = \frac{1}{ 2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \,dx \\ &a_{p} = \frac{1}{ 2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \cos \,px \,dx \\ &b_{p} = \frac{1}{ 2\pi} \int_{0}^{2\pi} f(x) \sin \,px \,dx , p = +1, +2 ... \infty \\ \end{align*} \]

如果要繼續推導下去讀者可能會看得有點累，建議有興趣的讀者可以直接前往筆者的參考書籍【Methods of celestial mechanics】$60$頁至$76$頁查閱。 若展開到 $e^7$，偏近點角$E$可對平近點角$M$展開成： \[ \begin{align*} E= M &+ \left( e-\frac{1}{8}e^3 + \frac{1}{192}e^5 - \frac{1}{9216}e^7 \right) \sin M \\ &+ \left( \frac{1}{2}e^2 -\frac{1}{6}e^4 + \frac{1}{48}e^6 \right) \sin 2M + \left( \frac{3}{8}e^3 -\frac{27}{128}e^5 +\frac{243}{5120}e^7 \right) \sin 3M \\ &+ \left( \frac{1}{3}e^4 - \frac{4}{15}e^6 \right) \sin 4M + \left( \frac{125}{384}e^5 -\frac{3125}{9216}e^7 \sin 5M \right) \\ &+ \frac{27}{80} e^6 \sin 6M + \frac{16807}{46080}e^7 \sin 7M \\ \end{align*} \] 再根據偏近點角$E$與真近點角$T$的關係，最終真近點角$T$對平近點角$M$若展開到$e^7$則成： \[ \begin{align*} T = M &+ \left( 2e - \frac{1}{4}e^3 + \frac{5}{96}e^5 + \frac{107}{4608}e^7 \right) \sin M \\ &+ \left( \frac{5}{4}e^2 -\frac{11}{24}e^4 + \frac{17}{192}e^6 \right) \sin 2M + \left( \frac{13}{12}e^3 -\frac{43}{64}e^5 +\frac{95}{512}e^7 \right) \sin 3M \\ &+ \left( \frac{103}{96}e^4 - \frac{451}{480}e^6 \right) \sin 4M + \left( \frac{1097}{960}e^5 -\frac{5957}{4608}e^7 \sin 5M \right) \\ &+ \frac{1223}{960} e^6 \sin 6M + \frac{47273}{32256}e^7 \sin 7M \\ \end{align*} \]

因為真實的行星軌道的離心率都非常小接近0，因此上式中 $e^2$之後的數字都會非常小可以忽略不計，也就會變成： \[ T-M = 2e \sin M \] 即「真近點角減平近點角」會非常近似sine(正弦函數)，最大最小值皆為 $2e$。

為方便讀者想像，下圖是以假設地球公轉軌道為離心率0.833的軌道所做出的圖形：

因為離心率很接近1，這時候上面式子各e的次方項就不太能省略了，所以如果將「真近點角減平近點角」對時間做圖會畫出下面的圖形：

但地球真實軌道的離心率僅有0.0167086，很接近正圓，如下圖：

這時候$e^2$之後便能省略，也因此「真近點角減平近點角」對時間做圖就會畫出如上述所說的sine(正弦函數)的圖形了！

也可以看到最大最小值確實是$\pm 0.0167086 \times 2 =\pm 0.0334172 $。

這就是【太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數】中，所畫出的正弦函數的來源了！

花了不少時間，我們終於解惑了神祕的圖形是怎麼來的了，詳細的推導過程就請讀者們自行參閱參考書籍了，筆者列的參考書籍僅是其中一種推導過程，筆者看過各種不同的推導方式，當然最終結論都是相同的。

確認以及慢慢可以預測太陽運動的非等速率運動，對於曆法的制定也是非常重要的，除了顯而易見的節氣之外，朔望月也的長度也受此影響，不難想像，在近日點時的冬季，因為地球公轉稍快，月球要回到相同相位的時間需稍久些，因此對太陽運動有更多的認識後朔望月也終於可以慢慢改用「定朔」而非「平朔」了，這部分我們會在日後繼續說明。

太陽運動 (2)：黃道與天球赤道，真近點角與平近點角

在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數我們發現曆書中出現了可以畫出看似sine(正弦函數)圖形的數字。這些數字到底在描述什麼？在解釋之前，我們先來感受一下，觀測太陽運動究竟是什麼樣的感覺。

如之前所述，以現代的科學觀來看太陽運動其實是地球繞日運行，但因為是相對運動，地球繞日運動或太陽運動就觀察的結果兩者是等價的，所以本篇不會刻意使用當代的科學觀「地球繞日運動」來描述，為方便描述視情況有時會以地球的視角來描述。

下面影片是模擬在台北「每日正午12時」觀察記錄太陽位置時會看到的結果，為方便讀者想像，筆者將日光的影響移去，乍看之下像是在太空中看到的情景。影片中的綠線是「黃道」即太陽運動的軌跡，影片中的紅線則是赤道在天球上的投影即「天球赤道」，黃道與赤道的交會即是「春分」與「秋分」的時刻。左上角可以看到日期的變化。

當然影片中的「黃道」與「天球赤道」皆是想像出來的，但是在古代不論東西方皆有黃道與天球赤道的概念，也都各自發展出非常類似的觀測儀器，即環形球儀(Armillary sphere)，或在東亞稱為「渾儀」：

環形球儀(Armillary sphere) 圖片來源：Wikipeida

古代希臘Eratosthenes(西元前276年－前194年)被認為是西方最早設計此觀測儀器的人，在東亞則因不同的考據而未知，最早可能是戰國時期但有明確歷史記載的可能是西漢的落下閎(西元前156年－前87年)。儀器從最初簡單的構造到最終長相類似上圖，其中包含許多環，如A環是天球赤道，B環是黃道，也可看出地球有一傾角，當然更早時可能還不一定有球形或緯度的概念，但可根據觀測地點的不同調整該傾角，事實上也就是調整至該處所在之緯度。

單純看影片可能會很難想像要如何使用，現在其實世面上不難買到這類型儀器的模型，YouTube上也可以看到許多此模型展示的影片，讀者們若有興趣可至YouTube搜尋Armillary sphere。裡面的環型多能旋轉，根據經過的日期調整環型，最終再根據上面的刻度，而能測量所欲觀測天體的黃經、赤經等的數據。

對照本文第一個影片，也就是有了這類型的儀器，每日如果在固定的時刻觀測太陽，則可逐日記下太陽在黃道中的位置。

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所以古代到底觀察到了什麼意外的東西？ 還記得在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數提到了北魏北齊時代張子信觀察到的不等速的太陽視運動嗎？

在沒有現代的天文觀時，假設你是一個古代人，很自然會預設太陽運動是個等速率圓周運動，地球是圓心，如下圖：

也就是如果相隔固定的時間觀測太陽，那太陽所走的黃經度數應該會是相等的。以現代天文物理學的定義，為方便起見從近日點開始起算，這裡在黃道經過的度數稱為「平近點角」(Mean Anomaly)。這裡當然沒有近日點，但之所以會引入「平近點角」是因為要描述橢圓軌道而從其橢圓軌道畫出輔助圓，因此這裡的近日點請參考下一張圖。

我們現在知道這個等速率圓周運動沒有發生： 在地球接近近日點時，地球運行較快，也就是相隔固定的時間觀測太陽，會發現太陽走的黃經度數，比在接近遠日點的時候還來得多。如下圖(為了方便讀者想像，這是誇飾過的地球軌道，真實的地球軌道雖仍是個橢圓，但是個視覺上非常接近正圓的橢圓)，下圖模型之運行，乃將上圖「等角速度」繞行一圈的時間，實際上套用至此軌道並符合克卜勒定律之角動量守量，換句話說，如果地球是如上圖「等角速度」運行繞行一圈是一年，則下圖的運行繞行的一圈仍是一年，但運行中的快慢符合克卜勒定律：

古代當然沒有「近日點」與「遠日點」的概念，但某些時候太陽走得較快較慢仍觀測得出來。上述所提之預期中的「等速率圓周運動」畢竟只是預期，實際上測得的黃經度數就是不同。以現代天文物理學的定義，如果從近日點開始起算，實際上天體運行黃道經過的度數稱為「真近點角」(True Anomaly)。

下圖則是按「真實地球軌道比例」繪出的圖形，是個視覺上非常接近正圓的橢圓：

如果我們將這兩個角度(真近點角、平近點角)畫在同一張圖上，隨時間演變作圖，會看到什麼樣子的變化呢？

上圖可以看到，軌道差異幾乎看不出來，另此圖設定地球繞行一圈與等速率圓周運動繞行一圈的時間是相同的，可看到地球真實的運動與等角速度運動的差異非常小但仍不同，但可明顯看出「地球-太陽」與「等角速度-圓心」兩線段並不是完全重合的兩個線段，仔細看也可以看出，在前半段「地球」比「等角速度」稍快些，後半段則反過來。

那角度差的變化又是怎麼樣呢？

當我們把「角度差」(真近點角減平近點角)隨時間演變(等角速度運動之角度增長)作圖，赫然看到了之前文章提及的sine(正弦)圖形！！

簡直是夢幻般的結果！！

這是真的sine圖形嗎？如果是的話，又為什麼呢？又要在此跟讀者們說聲抱歉，我們又要留待下次分解了，在之後的文章我們會簡單介紹，為什麼這樣子的角度差隨時間做圖，會畫出這個長得非常像sine的圖形。