什麼是「閏周」？閏周就是大家耳熟能詳的「$19$年$7$閏」或是之後祖沖之曾採用過的「$391$年$144$閏」，其中「$19$年$7$閏」的「$19$年」的$19$稱為章歲，「$7$閏」的$7$稱為章閏。
在古代最初採用平氣平朔的曆法時，計算閏月的方式相對簡單。在本篇中主要要講解的是，在太初曆當時是如何使用「閏周」的方式來決定閏月的。
先把古書放一邊，了解一下基本的概念，太初曆使用的是$19$年$7$閏，也就是$235$個農曆月中有$7$個是閏月，數字的由來在之前【閏月是怎麼決定的 (1)：概論】中有提及：
因為一個回歸年 $365.2422$ 天，若經過 $19$ 年，$ 365.2422 \times 19 = 6939.602$，其天數跟 $235 $ 個朔望月 $29.5306 \times 235 = 6939.691$ 的天數非常接近，而 $235 = 12 \times 19 + 7 $，也就是在這$19$年間，每年除了$12$個月之外，如果在$19$年間另外加入$7$個月的話，回歸年與朔望月便會形成一個很接近的循環，在古代曆法中，$19$ 便為一個「章」。
根據這幾個數字我們可以知道，如果把這$235$個農曆月平均分在$19$個回歸年間，一個回歸年共有$\frac{235}{19}=12\frac{7}{19}=12.368$個月左右，以一年正常$12$個月來看，每一年會多$\frac{7}{19}=0.368$個月左右，相當於每年會累積$\frac{7}{19}$個閏月，當這個月份累積超過$1$的時候，便是放置閏月的時候，再根據無中置閏的原則來看什麼時候是閏月。
這個累積閏月的基準點，跟之前一樣同樣是從「上元」開始累積，假設從上元開始經過了$2$個回歸年到了該年冬至，則共有 $\frac{235}{19} \times 2 = 24 \frac{14}{19}$個月，分數的部分即是閏月累積的月，因為還沒有超過$\frac{19}{19}$，目前還不用置閏，但可預期接下來的回歸年會再累積 $\frac{7}{19}$個閏月，分數的部分就會大於$1$了，所以我們知道接下來的回歸年會需要多個閏月。因為每年都是累積 $\frac{7}{19}$個閏月，當算到前一個回歸年累積的閏月超過 $\frac{12}{19}$個月時，接下來的一年累積的月份就會大於$1$，也就需要置閏了。
來看史書中的記載，太初曆的部分沒有仔細描述，不過由太初曆稍加改編的三統曆 (西元$5$年 - 西元$84$年) 寫得很清楚：
統母日法八十一。
閏法十九，因為章歲。
章月二百三十五。
月法二千三百九十二。
周天五十六萬二千一百二十。
章中二百二十八。
推天正，以章月乘人(入)統歲數，盈章歲得一，名曰積月，不盈者名曰閏餘。閏餘十二以上，歲有閏。
括號的部分是因為史書傳抄之後版本不同的關係。裡面很多的數字都在之前的不同文章中曾提及，在此就不再重覆解釋。
前段曾提過實際的$19$個回歸年的天數與$235$個朔望月的天數非常接近，但只是非常接近並不相等，而在早期使用閏周的曆法，如這裡的太初曆/三統曆，如果我們仔細看其使用的數字，回歸年的長度與朔望月的長度是設計成真的過了$19$個回歸年就是一個大循環。以曆書中的數字來看，太初曆/三統曆使用的回歸年長度是$\frac{562120}{1539}=365\frac{385}{1539}=365.2502$天，而朔望月的長度是$\frac{2392}{81}=29\frac{43}{81}=29.53086$天，$19$個回歸年的長度則是$\frac{562120}{1539} \times 19 = \frac{562120}{81}$天，$235$個朔望月也剛剛好是$\frac{2392}{81} \times 235 = \frac{562120}{81}$天，數字是設計好的，也因為這樣，在計算閏月的時候會更簡單一些。
以章月乘人統歲數，盈章歲得一，名曰積月，不盈者名曰閏餘。「人統歲數」即「上元積年」，這其實就是上述所說的，如果要算某年(上元積年共$N$年)是否要置閏，「章月乘以上元積年除以章歲」$235 \times N \div 19 = \frac{235}{19} \times N = 積月 + \frac{閏餘}{19}$。閏餘十二以上，歲有閏，如上述所說，如果分數的部分$\geq \frac{12}{19}$，則接下來的回歸年累積閏月一定會$\geq 1$，所以「閏餘十二以上，歲有閏」。
至於哪一個月份要置閏呢？
置閏的原則是無中氣的月份置閏，$19$個回歸年共有$12 \times 19=228$個中氣，又因為$19$個回歸年需置7個閏月，所以平均每個中氣會累積$\frac{7}{228}個閏月$，亦即每過一個朔望月，該月的中氣會再離該月的朔更遠一些，即$\frac{7}{228}$個月。
或是我們可以用另個方式來理解，假設最初合朔時刻與中氣點的時刻是相同的，經過一個朔望月也就是$29\frac{43}{81}=29.53086$天，但下一個中氣則是$365\frac{385}{1539} \times \frac{1}{12}= 30.43751 $天之後，所以每過一個朔望月，中氣會遠離朔$(365\frac{385}{1539} \times \frac{1}{12}-29\frac{43}{81})$天，即 \[ \begin{align*} \frac{562120}{1539}\times \frac{1}{12} -\frac{2392}{81} &= \frac{2392 \times 235}{81 \times 19 } \times \frac{1}{12}- \frac{2392}{81} \\ &= \frac{2392}{81} \times (\frac{235}{19 \times 12} - \frac{19 \times 12}{19 \times 12} )\\ &= \frac{2392}{81} \times \frac{235-228}{228}\\ &= \frac{2392}{81} \times \frac{7}{228} \end{align*} \]， 也就是一個朔望月的長度乘以$\frac{7}{228}$，即上述說的$\frac{7}{228}$個月。
數字這麼漂亮當然是因為設計過的所以必然如此。如果要知道某年的第$k$個中氣是否會需要閏月，根據前段所述，我們知道算到該年冬至累積的「閏餘」的算法是$235 \times N \div 19 = \frac{235}{19} \times N = 積月 + \frac{閏餘}{19}$。事實上，這個$\frac{閏餘}{19}$的部分，跟前一篇文章的「歸餘之掛」的概念是非常類似的，不過因為最早的曆法有採取閏周，數字特別設計過，算起來不像前一篇【古代怎麼推算朔日 (1)：概論】所述相對複雜。
再來看曆書是怎麼寫的：
「十二乘閏餘加七，除以章中」，「章中」就是一個章($19$個回歸年)含有的中氣數，也就是曆書中有寫出的$228$。這一段其實就是$\frac{閏餘 \times 12 + 7k}{228}$。
從冬至開始算起，如果有一個朔望月不含中氣，「則中至終閏」，就是要放置閏月的時候了。此時，那個在閏月後出現的中氣稱為「盈中氣」，因為兩個中氣相隔的長度僅$30$多天，所以這個「盈中氣」一定是出現在初一或初二，也就是「在朔若二日」。
最後，「則前月閏也」，不過如果真的照這個算法的話，其實會有一點小問題，譬如假設「穀雨」這個中氣的中氣點是在該月初一下午$1$點，該月合朔時刻是在初一下午$2$點，次月合朔時刻是在初一上午$7$點，「小滿」這個中氣的中氣點是在次月初一上午$8$點，如下圖所示：
這種計算法之後還有曆法曾使用過，但是大多數的曆書都是採用其他的算法，這部分我們在之後的文章還會繼續說明。
參考文獻：中國數理天文學。2008年。曲安京著。科學出版社。
