日月交食 (1) ：交點月

$11$月$30$日(星期一)可見天文現象半影月食，臺灣也可以看到，傍晚月出時即帶食，歷時約$2$小時$53$分左右。在半影月食時，因為地球並非完全擋住太陽的光線，只會稍微降低月球亮度，通常用攝影的方式較容易看出變化。 之所以會有半影月食，與月球繞地軌道與地球、月球大小比例有關，下圖是示意圖，並非按照正確比例繪製：

可以看到在半影區內，太陽的光線仍有部分可直射至月球，僅有在本影區內，太陽直射月球的光線才會完全被地球擋住。 若是按照地球、月球大小與軌道真正的比例繪製，可見下圖，此圖的月球繞地軌道、白道黃道交角皆按真實比例繪製：

上半部是以直視黃道面的方式來觀看月球繞地運動，此時的太陽固定在左方，但因為距離太遠無法在此圖中出現。本影、半影區的繪製也與第一張圖的繪製方式相同。下半部則是從地球上觀察本影半影區，影片中也可看到月球在運動至最右側時 (即「望」的相位) 掃過半影區。此圖的月球運行非常類似$11$月$30$日該次的半影月食(不過此圖僅為該次半影月食示意圖，不是百分之百模擬)。圖中本影、半影區的大小其實有很細微的變化，是因為地球繞日、月球繞地軌道非正圓，因此地球距太陽、月球距地球的距離皆會有細微變化，造成本影、半影區的大小非固定。

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預測日月食是古代東亞曆法中非常重要的一環，也是少數預測的天象可以用最簡單的方法驗證的，不同如節氣或是朔望，日月食是非常視覺性、一翻兩瞪眼的天象，在古代曆法中也下了很大的工夫在此。

在介紹古代東亞曆法關於日月交食的計算前，還有許多數學與計算要先慢慢介紹，無法在單一文章中詳細解說，還請讀者們之後耐心閱讀。這篇文章要先簡單介紹關於日月交食中，最基本的概念：交點月。

關於月球運動有許多週期我們已經介紹過，如【朔日定初一：從除夕是哪一天談起】與【古代怎麼推算朔日 (1)：概論】等皆有提及的「朔望月」，或是【月球運動 (1)：平朔、定朔概論】中雖沒提到但是其實有應用到的「近點月」，也就是月球運動從近地點算起環繞回近地點所需的時間。

而因為月球繞地軌道並非與黃道面平行，有一個約$5.3$度的交角，因此每隔一段時間便會運行至黃道面，若以地球北極為上方，則月球會不斷地「上升至黃道」或「下降至黃道」。「上升至黃道」的那個交點稱為「升交點」，「下降至黃道」的交點稱為「降交點」。月球回到同一個「交點」的週期便稱為「交點月」，平均約$27.212220$天。雖然日後計算日月食不一定直接利用此一數據，但能準確觀察記錄對於日月食的預測有極大的幫助，如果「升交點」或「降交點」剛好位於「朔」或「望」的相位，便會有日月食的情況出現。

下圖是模擬月球繞地運行，太陽固定於同一點，此圖中是在圖中左側的位置，因為比例的關係太遙遠了無法畫出。圖中是以直視黃道面的方式呈現，若運行到最左側是「朔」的相位，若是最右側則是「望」的相位。上半月時，圖中的月球會由左至右運行，下半月時則是由右至左運行：

圖中可見月球繞地軌道並非於黃道面重合，而有一交角。因為月球繞地時同時也在繞著太陽運行，所以月球繞地的交角的方向也隨之改變，但若是單純只因此方式改變方向，讀者們可能會期待每隔$365.2422$天，月球繞地的角度會回到原來的方式，但事實上此「交點月」如同絕大多數的週期都有「進動」的現象，每隔$18.6$年左右「升交點」與「降交點」才會回到地球、月球相對位置中相同的位置。

此圖是按照真實軌道與進動方式模擬，甚至也考慮了地球繞日的橢圓軌道，因此圖中的「朔望月」與「交點月」的長度皆符合真實世界的長度。讀者們可以仔細觀察，約每隔$29.5$天，月球會回到「朔」或「望」的相位，而每隔約$27.2$天左右，月球會從到「升交點」或「降交點」處開始形成一週期回到該「交點」處。

在古代東亞曆法中，最先計算出「交點月」的是大家熟知的祖沖之(西元 $429$ 年－$500$ 年)，在其提出且日後使用的大明曆 (西元 $510$ 年－$589$ 年)中便提出了該數字：

【宋書志第三曆下】

會周，七十一萬七千七百七十七。 通法，二萬六千三百七十七。

這裡使用的數字是 $\frac{717777}{26377} = 27.21223$ 跟上述現代測得的數據 $27.212220$ 已經非常接近了。

這篇文章僅是簡單介紹「交點月」，在未來一系列的文章我們會慢慢介紹古代曆法怎麼計算日月交食，請讀者們日後繼續閱讀了！

太陽運動 (2)：黃道與天球赤道，真近點角與平近點角

在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數我們發現曆書中出現了可以畫出看似sine(正弦函數)圖形的數字。這些數字到底在描述什麼？在解釋之前，我們先來感受一下，觀測太陽運動究竟是什麼樣的感覺。

如之前所述，以現代的科學觀來看太陽運動其實是地球繞日運行，但因為是相對運動，地球繞日運動或太陽運動就觀察的結果兩者是等價的，所以本篇不會刻意使用當代的科學觀「地球繞日運動」來描述，為方便描述視情況有時會以地球的視角來描述。

下面影片是模擬在台北「每日正午12時」觀察記錄太陽位置時會看到的結果，為方便讀者想像，筆者將日光的影響移去，乍看之下像是在太空中看到的情景。影片中的綠線是「黃道」即太陽運動的軌跡，影片中的紅線則是赤道在天球上的投影即「天球赤道」，黃道與赤道的交會即是「春分」與「秋分」的時刻。左上角可以看到日期的變化。

當然影片中的「黃道」與「天球赤道」皆是想像出來的，但是在古代不論東西方皆有黃道與天球赤道的概念，也都各自發展出非常類似的觀測儀器，即環形球儀(Armillary sphere)，或在東亞稱為「渾儀」：

環形球儀(Armillary sphere) 圖片來源：Wikipeida

古代希臘Eratosthenes(西元前276年－前194年)被認為是西方最早設計此觀測儀器的人，在東亞則因不同的考據而未知，最早可能是戰國時期但有明確歷史記載的可能是西漢的落下閎(西元前156年－前87年)。儀器從最初簡單的構造到最終長相類似上圖，其中包含許多環，如A環是天球赤道，B環是黃道，也可看出地球有一傾角，當然更早時可能還不一定有球形或緯度的概念，但可根據觀測地點的不同調整該傾角，事實上也就是調整至該處所在之緯度。

單純看影片可能會很難想像要如何使用，現在其實世面上不難買到這類型儀器的模型，YouTube上也可以看到許多此模型展示的影片，讀者們若有興趣可至YouTube搜尋Armillary sphere。裡面的環型多能旋轉，根據經過的日期調整環型，最終再根據上面的刻度，而能測量所欲觀測天體的黃經、赤經等的數據。

對照本文第一個影片，也就是有了這類型的儀器，每日如果在固定的時刻觀測太陽，則可逐日記下太陽在黃道中的位置。

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所以古代到底觀察到了什麼意外的東西？ 還記得在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數提到了北魏北齊時代張子信觀察到的不等速的太陽視運動嗎？

在沒有現代的天文觀時，假設你是一個古代人，很自然會預設太陽運動是個等速率圓周運動，地球是圓心，如下圖：

也就是如果相隔固定的時間觀測太陽，那太陽所走的黃經度數應該會是相等的。以現代天文物理學的定義，為方便起見從近日點開始起算，這裡在黃道經過的度數稱為「平近點角」(Mean Anomaly)。這裡當然沒有近日點，但之所以會引入「平近點角」是因為要描述橢圓軌道而從其橢圓軌道畫出輔助圓，因此這裡的近日點請參考下一張圖。

我們現在知道這個等速率圓周運動沒有發生： 在地球接近近日點時，地球運行較快，也就是相隔固定的時間觀測太陽，會發現太陽走的黃經度數，比在接近遠日點的時候還來得多。如下圖(為了方便讀者想像，這是誇飾過的地球軌道，真實的地球軌道雖仍是個橢圓，但是個視覺上非常接近正圓的橢圓)，下圖模型之運行，乃將上圖「等角速度」繞行一圈的時間，實際上套用至此軌道並符合克卜勒定律之角動量守量，換句話說，如果地球是如上圖「等角速度」運行繞行一圈是一年，則下圖的運行繞行的一圈仍是一年，但運行中的快慢符合克卜勒定律：

古代當然沒有「近日點」與「遠日點」的概念，但某些時候太陽走得較快較慢仍觀測得出來。上述所提之預期中的「等速率圓周運動」畢竟只是預期，實際上測得的黃經度數就是不同。以現代天文物理學的定義，如果從近日點開始起算，實際上天體運行黃道經過的度數稱為「真近點角」(True Anomaly)。

下圖則是按「真實地球軌道比例」繪出的圖形，是個視覺上非常接近正圓的橢圓：

如果我們將這兩個角度(真近點角、平近點角)畫在同一張圖上，隨時間演變作圖，會看到什麼樣子的變化呢？

上圖可以看到，軌道差異幾乎看不出來，另此圖設定地球繞行一圈與等速率圓周運動繞行一圈的時間是相同的，可看到地球真實的運動與等角速度運動的差異非常小但仍不同，但可明顯看出「地球-太陽」與「等角速度-圓心」兩線段並不是完全重合的兩個線段，仔細看也可以看出，在前半段「地球」比「等角速度」稍快些，後半段則反過來。

那角度差的變化又是怎麼樣呢？

當我們把「角度差」(真近點角減平近點角)隨時間演變(等角速度運動之角度增長)作圖，赫然看到了之前文章提及的sine(正弦)圖形！！

簡直是夢幻般的結果！！

這是真的sine圖形嗎？如果是的話，又為什麼呢？又要在此跟讀者們說聲抱歉，我們又要留待下次分解了，在之後的文章我們會簡單介紹，為什麼這樣子的角度差隨時間做圖，會畫出這個長得非常像sine的圖形。