2020年10月20日 星期二

太陽運動 (2):黃道與天球赤道,真近點角與平近點角

太陽運動 (1):史書中暗藏的正弦函數我們發現曆書中出現了可以畫出看似sine(正弦函數)圖形的數字。這些數字到底在描述什麼?在解釋之前,我們先來感受一下,觀測太陽運動究竟是什麼樣的感覺。

如之前所述,以現代的科學觀來看太陽運動其實是地球繞日運行,但因為是相對運動,地球繞日運動或太陽運動就觀察的結果兩者是等價的,所以本篇不會刻意使用當代的科學觀「地球繞日運動」來描述,為方便描述視情況有時會以地球的視角來描述。

下面影片是模擬在台北「每日正午12時」觀察記錄太陽位置時會看到的結果,為方便讀者想像,筆者將日光的影響移去,乍看之下像是在太空中看到的情景。影片中的綠線是「黃道」即太陽運動的軌跡,影片中的紅線則是赤道在天球上的投影即「天球赤道」,黃道與赤道的交會即是「春分」與「秋分」的時刻。左上角可以看到日期的變化。

當然影片中的「黃道」與「天球赤道」皆是想像出來的,但是在古代不論東西方皆有黃道與天球赤道的概念,也都各自發展出非常類似的觀測儀器,即環形球儀(Armillary sphere),或在東亞稱為「渾儀」:

環形球儀(Armillary sphere) 圖片來源:Wikipeida


古代希臘Eratosthenes(西元前276年-前194年)被認為是西方最早設計此觀測儀器的人,在東亞則因不同的考據而未知,最早可能是戰國時期但有明確歷史記載的可能是西漢的落下閎(西元前156年-前87年)。儀器從最初簡單的構造到最終長相類似上圖,其中包含許多環,如A環是天球赤道,B環是黃道,也可看出地球有一傾角,當然更早時可能還不一定有球形或緯度的概念,但可根據觀測地點的不同調整該傾角,事實上也就是調整至該處所在之緯度。

單純看影片可能會很難想像要如何使用,現在其實世面上不難買到這類型儀器的模型,YouTube上也可以看到許多此模型展示的影片,讀者們若有興趣可至YouTube搜尋Armillary sphere。裡面的環型多能旋轉,根據經過的日期調整環型,最終再根據上面的刻度,而能測量所欲觀測天體的黃經、赤經等的數據。

對照本文第一個影片,也就是有了這類型的儀器,每日如果在固定的時刻觀測太陽,則可逐日記下太陽在黃道中的位置。








所以古代到底觀察到了什麼意外的東西? 還記得在太陽運動 (1):史書中暗藏的正弦函數提到了北魏北齊時代張子信觀察到的不等速的太陽視運動嗎?

在沒有現代的天文觀時,假設你是一個古代人,很自然會預設太陽運動是個等速率圓周運動,地球是圓心,如下圖:

也就是如果相隔固定的時間觀測太陽,那太陽所走的黃經度數應該會是相等的。以現代天文物理學的定義,為方便起見從近日點開始起算,這裡在黃道經過的度數稱為「平近點角」(Mean Anomaly)。這裡當然沒有近日點,但之所以會引入「平近點角」是因為要描述橢圓軌道而從其橢圓軌道畫出輔助圓,因此這裡的近日點請參考下一張圖。


我們現在知道這個等速率圓周運動沒有發生: 在地球接近近日點時,地球運行較快,也就是相隔固定的時間觀測太陽,會發現太陽走的黃經度數,比在接近遠日點的時候還來得多。如下圖(為了方便讀者想像,這是誇飾過的地球軌道,真實的地球軌道雖仍是個橢圓,但是個視覺上非常接近正圓的橢圓),下圖模型之運行,乃將上圖「等角速度」繞行一圈的時間,實際上套用至此軌道並符合克卜勒定律之角動量守量,換句話說,如果地球是如上圖「等角速度」運行繞行一圈是一年,則下圖的運行繞行的一圈仍是一年,但運行中的快慢符合克卜勒定律:

古代當然沒有「近日點」與「遠日點」的概念,但某些時候太陽走得較快較慢仍觀測得出來。上述所提之預期中的「等速率圓周運動」畢竟只是預期,實際上測得的黃經度數就是不同。以現代天文物理學的定義,如果從近日點開始起算,實際上天體運行黃道經過的度數稱為「真近點角」(True Anomaly)。

下圖則是按「真實地球軌道比例」繪出的圖形,是個視覺上非常接近正圓的橢圓:

如果我們將這兩個角度(真近點角、平近點角)畫在同一張圖上,隨時間演變作圖,會看到什麼樣子的變化呢?

上圖可以看到,軌道差異幾乎看不出來,另此圖設定地球繞行一圈與等速率圓周運動繞行一圈的時間是相同的,可看到地球真實的運動與等角速度運動的差異非常小但仍不同,但可明顯看出「地球-太陽」與「等角速度-圓心」兩線段並不是完全重合的兩個線段,仔細看也可以看出,在前半段「地球」比「等角速度」稍快些,後半段則反過來。

那角度差的變化又是怎麼樣呢?

當我們把「角度差」(真近點角減平近點角)隨時間演變(等角速度運動之角度增長)作圖,赫然看到了之前文章提及的sine(正弦)圖形!!

簡直是夢幻般的結果!!

這是真的sine圖形嗎?如果是的話,又為什麼呢?又要在此跟讀者們說聲抱歉,我們又要留待下次分解了,在之後的文章我們會簡單介紹,為什麼這樣子的角度差隨時間做圖,會畫出這個長得非常像sine的圖形。



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