火星衝日：曆書中的火星視運動

臺灣時間10月14日(星期三)是兩年一見「火星衝日」的日子！古代曆法有在管行星運動嗎？答案是肯定的。

適逢火星衝日，這篇文章只會簡單介紹曆書裡的火星視運動，將來還會有古代曆法的行星運動理論更完整的介紹。

早在戰國時期的【五星占】就記錄了金木水火土五星的觀測與推算記錄，不過這個文獻有點古老，寫得較不詳細且文件破損殘缺。我們來看看現存最早的完整曆法「三統曆」 (西元$5$年 - 西元$84$年) 寫了什麼吧：

【漢書卷二十一律曆志第一】

見中日法二千九百八十六萬七千三百七十三。 火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日。復留，十日而旋。復順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬八千五分。通其率，故曰日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。

看起來有些複雜，我們先來看一下地球上觀察火星的視運動是怎麼樣子。下圖是按照真實公轉軌道與公轉週期比例繪製而成，火星公轉軌道的離心率比地球軌道大，看得出來火星軌道視覺上更像是個軌圓。為避免各星球在圖上太小較難閱讀，星體大小並未按照比例繪製。

其實一直反覆看這個gif動畫還蠻療癒的……

仔細觀察，因為地球軌道在內側，公轉周期較短，每隔一段時間地球便會「超車」火星。從地球觀測火星的視運動大致照同一方向運行，但每當地球「超車」時，火星視運動便會「逆行」一段時間，一直到成功超完車後，才再度回到原來的運行方向。如下圖所示：

再回到第一張圖仔細觀察可知，這樣子的「逆行」「只」會發生在「超車」的時候，其他的時間視運動方向都是一致的。

畢竟沒有現代的天文觀，行星視運動這樣子的運行方式在古代不論東西方都讓學者們很困惑。行星的英文「planet」是來自古希臘文，意思是「遊走者」(wanderer)。火星古稱「熒惑」，「惑」也與其視運動不定有關。若此順逆行運動變換剛好發生在以天蠍座心宿為背景時，便為著名的「熒惑守心」。

在討論火星視運動時，要先考慮到什麼時候可以觀測得到火星。行星雖然亮，但與地球上最容易觀察的「太陽」與「月亮」相比，自然還是暗得多。雖然受太陽光的影響，就算是白天仍然看得到月亮，但其他行星就不同了，非要在日出前或是日落後才有機會觀察，這些行星的亮度確實不敵太陽光與大氣層散射。

因為我們只使用簡單的軌道模型，不考慮球型自轉軸緯度大氣層等的影響，為方便起見，我們直接設定只有在晚上八點至隔日凌晨四點才能觀察得到火星，請見下圖：

為方便圖形展示，地球的比例放大許多。r與s兩線段即分別是晚上八點與清晨四點，q與p則分別為與r、s垂直的線段。不難想像，若火星的位置在p、q形成的暗色區域內，則為可觀察到的日子。換句話說，如果現在是晚上八點(r線段)，火星剛好在q線段上，這時候剛剛好會看到火星要從西邊下山。同理，如果現在是清晨四點(s線段)，若火星剛好在p線段上，則剛好可以在黎明時分看到火星從東方升起，不過也就只看得到升起那一瞬間，再來就會被日光影響了。

火星(地外行星)視運動會形成一個「會合週期」。如下圖，從可以在清晨時觀察到火星的日子開始，到下一個循環的起始點(可以再度於清晨時觀察到火星的日子)：

如果分解各階段，依次為「始見」「順行」「留」「逆行」「留」「順行」「始伏」「伏行」「始見」。「始見」即開始可以從日出前觀察到的時候，「留」是視運動中順逆行變換的時候，「始伏」是火星受日光影響無法觀察的開始，「伏行」即受日光影響無法觀察的日子。

回過頭來看文章開頭所引用的三統曆到底寫了什麼吧！

【漢書卷二十一律曆志第一】

見中日法二千九百八十六萬七千三百七十三。 火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日。復留，十日而旋。復順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬八千五分。通其率，故曰日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。

其實就是火星視運動各階段的記錄，下表把日行天數用現代表格畫下，其中「伏行」與「一見」非整數，其分母為文中有附的$29867373$，表中已經將其換算成小數以方便閱讀：

	行日
晨始見	去日半次
順	$276$
始留	$10$
逆	$62$
復留	$10$
復順	$276$
伏	$146.5253$
一見	$780.5253$

「一見」就是一個會合週期的長度，就現代的眼光看起來當然不準(NASA給的數據是$779.94$天)，不過要記得這已經是$2000$年前的數據了。

會合週期就是多久地球會超車一次，這個數字由上述NASA網站「地球公轉週期」與「火星公轉週期」兩個數字也可簡單算出，應該是國小，或至多國中程度的數學即可：

地球公轉一週$365.256$日(恆星週期，所以與回歸年長度稍不同)，火星公轉一週$686.980$日。

因為地球公轉一週時間較短，所以當地球「超車」的時候，繞的圈數會剛好多繞火星「一圈」

\[ \frac{會合週期}{地球公轉週期} = \frac{會合週期}{火星公轉週期} + 1 \\ \frac{會合週期}{365.256} = \frac{會合週期}{686.98} + 1 \\ 會合週期 = \frac{1}{\frac{1}{365.256} - \frac{1}{686.98}} = 779.9343 \\ \]

因為小數點位數的關係所以稍有誤差。

最後，從上述觀察火星的其中一個階段中可以看到「火星衝日」時火星、地球、太陽的相對位置，「衝」也是火星「逆行」時速率最快的時候。

只單純在該日仰望火星是觀察不出逆行速率啦。

因為相對位置的關係，火星該日出現在正南方的天空上時會剛好在午夜時。

祝福大家都能欣賞到美麗的火星。