太陽運動 (2)：黃道與天球赤道，真近點角與平近點角

在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數我們發現曆書中出現了可以畫出看似sine(正弦函數)圖形的數字。這些數字到底在描述什麼？在解釋之前，我們先來感受一下，觀測太陽運動究竟是什麼樣的感覺。

如之前所述，以現代的科學觀來看太陽運動其實是地球繞日運行，但因為是相對運動，地球繞日運動或太陽運動就觀察的結果兩者是等價的，所以本篇不會刻意使用當代的科學觀「地球繞日運動」來描述，為方便描述視情況有時會以地球的視角來描述。

下面影片是模擬在台北「每日正午12時」觀察記錄太陽位置時會看到的結果，為方便讀者想像，筆者將日光的影響移去，乍看之下像是在太空中看到的情景。影片中的綠線是「黃道」即太陽運動的軌跡，影片中的紅線則是赤道在天球上的投影即「天球赤道」，黃道與赤道的交會即是「春分」與「秋分」的時刻。左上角可以看到日期的變化。

當然影片中的「黃道」與「天球赤道」皆是想像出來的，但是在古代不論東西方皆有黃道與天球赤道的概念，也都各自發展出非常類似的觀測儀器，即環形球儀(Armillary sphere)，或在東亞稱為「渾儀」：

環形球儀(Armillary sphere) 圖片來源：Wikipeida

古代希臘Eratosthenes(西元前276年－前194年)被認為是西方最早設計此觀測儀器的人，在東亞則因不同的考據而未知，最早可能是戰國時期但有明確歷史記載的可能是西漢的落下閎(西元前156年－前87年)。儀器從最初簡單的構造到最終長相類似上圖，其中包含許多環，如A環是天球赤道，B環是黃道，也可看出地球有一傾角，當然更早時可能還不一定有球形或緯度的概念，但可根據觀測地點的不同調整該傾角，事實上也就是調整至該處所在之緯度。

單純看影片可能會很難想像要如何使用，現在其實世面上不難買到這類型儀器的模型，YouTube上也可以看到許多此模型展示的影片，讀者們若有興趣可至YouTube搜尋Armillary sphere。裡面的環型多能旋轉，根據經過的日期調整環型，最終再根據上面的刻度，而能測量所欲觀測天體的黃經、赤經等的數據。

對照本文第一個影片，也就是有了這類型的儀器，每日如果在固定的時刻觀測太陽，則可逐日記下太陽在黃道中的位置。

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所以古代到底觀察到了什麼意外的東西？ 還記得在太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數提到了北魏北齊時代張子信觀察到的不等速的太陽視運動嗎？

在沒有現代的天文觀時，假設你是一個古代人，很自然會預設太陽運動是個等速率圓周運動，地球是圓心，如下圖：

也就是如果相隔固定的時間觀測太陽，那太陽所走的黃經度數應該會是相等的。以現代天文物理學的定義，為方便起見從近日點開始起算，這裡在黃道經過的度數稱為「平近點角」(Mean Anomaly)。這裡當然沒有近日點，但之所以會引入「平近點角」是因為要描述橢圓軌道而從其橢圓軌道畫出輔助圓，因此這裡的近日點請參考下一張圖。

我們現在知道這個等速率圓周運動沒有發生： 在地球接近近日點時，地球運行較快，也就是相隔固定的時間觀測太陽，會發現太陽走的黃經度數，比在接近遠日點的時候還來得多。如下圖(為了方便讀者想像，這是誇飾過的地球軌道，真實的地球軌道雖仍是個橢圓，但是個視覺上非常接近正圓的橢圓)，下圖模型之運行，乃將上圖「等角速度」繞行一圈的時間，實際上套用至此軌道並符合克卜勒定律之角動量守量，換句話說，如果地球是如上圖「等角速度」運行繞行一圈是一年，則下圖的運行繞行的一圈仍是一年，但運行中的快慢符合克卜勒定律：

古代當然沒有「近日點」與「遠日點」的概念，但某些時候太陽走得較快較慢仍觀測得出來。上述所提之預期中的「等速率圓周運動」畢竟只是預期，實際上測得的黃經度數就是不同。以現代天文物理學的定義，如果從近日點開始起算，實際上天體運行黃道經過的度數稱為「真近點角」(True Anomaly)。

下圖則是按「真實地球軌道比例」繪出的圖形，是個視覺上非常接近正圓的橢圓：

如果我們將這兩個角度(真近點角、平近點角)畫在同一張圖上，隨時間演變作圖，會看到什麼樣子的變化呢？

上圖可以看到，軌道差異幾乎看不出來，另此圖設定地球繞行一圈與等速率圓周運動繞行一圈的時間是相同的，可看到地球真實的運動與等角速度運動的差異非常小但仍不同，但可明顯看出「地球-太陽」與「等角速度-圓心」兩線段並不是完全重合的兩個線段，仔細看也可以看出，在前半段「地球」比「等角速度」稍快些，後半段則反過來。

那角度差的變化又是怎麼樣呢？

當我們把「角度差」(真近點角減平近點角)隨時間演變(等角速度運動之角度增長)作圖，赫然看到了之前文章提及的sine(正弦)圖形！！

簡直是夢幻般的結果！！

這是真的sine圖形嗎？如果是的話，又為什麼呢？又要在此跟讀者們說聲抱歉，我們又要留待下次分解了，在之後的文章我們會簡單介紹，為什麼這樣子的角度差隨時間做圖，會畫出這個長得非常像sine的圖形。

火星衝日：曆書中的火星視運動

臺灣時間10月14日(星期三)是兩年一見「火星衝日」的日子！古代曆法有在管行星運動嗎？答案是肯定的。

適逢火星衝日，這篇文章只會簡單介紹曆書裡的火星視運動，將來還會有古代曆法的行星運動理論更完整的介紹。

早在戰國時期的【五星占】就記錄了金木水火土五星的觀測與推算記錄，不過這個文獻有點古老，寫得較不詳細且文件破損殘缺。我們來看看現存最早的完整曆法「三統曆」 (西元$5$年 - 西元$84$年) 寫了什麼吧：

【漢書卷二十一律曆志第一】

見中日法二千九百八十六萬七千三百七十三。 火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日。復留，十日而旋。復順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬八千五分。通其率，故曰日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。

看起來有些複雜，我們先來看一下地球上觀察火星的視運動是怎麼樣子。下圖是按照真實公轉軌道與公轉週期比例繪製而成，火星公轉軌道的離心率比地球軌道大，看得出來火星軌道視覺上更像是個軌圓。為避免各星球在圖上太小較難閱讀，星體大小並未按照比例繪製。

其實一直反覆看這個gif動畫還蠻療癒的……

仔細觀察，因為地球軌道在內側，公轉周期較短，每隔一段時間地球便會「超車」火星。從地球觀測火星的視運動大致照同一方向運行，但每當地球「超車」時，火星視運動便會「逆行」一段時間，一直到成功超完車後，才再度回到原來的運行方向。如下圖所示：

再回到第一張圖仔細觀察可知，這樣子的「逆行」「只」會發生在「超車」的時候，其他的時間視運動方向都是一致的。

畢竟沒有現代的天文觀，行星視運動這樣子的運行方式在古代不論東西方都讓學者們很困惑。行星的英文「planet」是來自古希臘文，意思是「遊走者」(wanderer)。火星古稱「熒惑」，「惑」也與其視運動不定有關。若此順逆行運動變換剛好發生在以天蠍座心宿為背景時，便為著名的「熒惑守心」。

在討論火星視運動時，要先考慮到什麼時候可以觀測得到火星。行星雖然亮，但與地球上最容易觀察的「太陽」與「月亮」相比，自然還是暗得多。雖然受太陽光的影響，就算是白天仍然看得到月亮，但其他行星就不同了，非要在日出前或是日落後才有機會觀察，這些行星的亮度確實不敵太陽光與大氣層散射。

因為我們只使用簡單的軌道模型，不考慮球型自轉軸緯度大氣層等的影響，為方便起見，我們直接設定只有在晚上八點至隔日凌晨四點才能觀察得到火星，請見下圖：

為方便圖形展示，地球的比例放大許多。r與s兩線段即分別是晚上八點與清晨四點，q與p則分別為與r、s垂直的線段。不難想像，若火星的位置在p、q形成的暗色區域內，則為可觀察到的日子。換句話說，如果現在是晚上八點(r線段)，火星剛好在q線段上，這時候剛剛好會看到火星要從西邊下山。同理，如果現在是清晨四點(s線段)，若火星剛好在p線段上，則剛好可以在黎明時分看到火星從東方升起，不過也就只看得到升起那一瞬間，再來就會被日光影響了。

火星(地外行星)視運動會形成一個「會合週期」。如下圖，從可以在清晨時觀察到火星的日子開始，到下一個循環的起始點(可以再度於清晨時觀察到火星的日子)：

如果分解各階段，依次為「始見」「順行」「留」「逆行」「留」「順行」「始伏」「伏行」「始見」。「始見」即開始可以從日出前觀察到的時候，「留」是視運動中順逆行變換的時候，「始伏」是火星受日光影響無法觀察的開始，「伏行」即受日光影響無法觀察的日子。

回過頭來看文章開頭所引用的三統曆到底寫了什麼吧！

【漢書卷二十一律曆志第一】

見中日法二千九百八十六萬七千三百七十三。 火，晨始見，去日半次。順，日行九十二分度五十三，二百七十六日，始留，十日而旋。逆，日行六十二分度十七，六十二日。復留，十日而旋。復順，日行九十二分度五十三，二百七十六日而伏。凡見六百三十四日，除逆，定行星三百一度。伏，日行不盈九十二分度七十三分，伏百四十六日千五百六十八萬九千七百分，行星百一十四度八百二十一萬八千五分。一見，七百八十日千五百六十八萬九千七百分，凡行星四百一十五度八百二十一萬八千五分。通其率，故曰日行萬三千八百二十四分度之七千三百五十五。

其實就是火星視運動各階段的記錄，下表把日行天數用現代表格畫下，其中「伏行」與「一見」非整數，其分母為文中有附的$29867373$，表中已經將其換算成小數以方便閱讀：

	行日
晨始見	去日半次
順	$276$
始留	$10$
逆	$62$
復留	$10$
復順	$276$
伏	$146.5253$
一見	$780.5253$

「一見」就是一個會合週期的長度，就現代的眼光看起來當然不準(NASA給的數據是$779.94$天)，不過要記得這已經是$2000$年前的數據了。

會合週期就是多久地球會超車一次，這個數字由上述NASA網站「地球公轉週期」與「火星公轉週期」兩個數字也可簡單算出，應該是國小，或至多國中程度的數學即可：

地球公轉一週$365.256$日(恆星週期，所以與回歸年長度稍不同)，火星公轉一週$686.980$日。

因為地球公轉一週時間較短，所以當地球「超車」的時候，繞的圈數會剛好多繞火星「一圈」

\[ \frac{會合週期}{地球公轉週期} = \frac{會合週期}{火星公轉週期} + 1 \\ \frac{會合週期}{365.256} = \frac{會合週期}{686.98} + 1 \\ 會合週期 = \frac{1}{\frac{1}{365.256} - \frac{1}{686.98}} = 779.9343 \\ \]

因為小數點位數的關係所以稍有誤差。

最後，從上述觀察火星的其中一個階段中可以看到「火星衝日」時火星、地球、太陽的相對位置，「衝」也是火星「逆行」時速率最快的時候。

只單純在該日仰望火星是觀察不出逆行速率啦。

因為相對位置的關係，火星該日出現在正南方的天空上時會剛好在午夜時。

祝福大家都能欣賞到美麗的火星。

太陽運動 (1)：史書中暗藏的正弦函數

一套曆書不單純只是要告訴你今天幾月幾日，曆書的目的是記錄計算推算天體運行，幾月幾日其實是天體運行的一部分結果；曆書中記錄著各天體的運行，其中最重要的即是「太陽運動」。以現代的科學觀來看太陽運動其實是地球繞日運行，不過因為這是相對運動，地球繞日運動或太陽運動就觀察的結果兩者是等價的，所以本篇與之後的介紹不會刻意使用當代的科學觀「地球繞日運動」來描述，為方便描述視情況有時會以地球的視角來描述。

我們現在知道地球繞日是一橢圓軌道，太陽在焦點的位置，有近日點與遠日點。又知道根據克卜勒定律，相同時間內掃過的面積是相同的，所以在近日點的時候地球繞日較快，遠日點則較慢。

不過上圖是不成比例的，地球繞日軌道其實是個肉眼幾乎無法與圓分辨的橢圓，下圖才是按照正確比例繪製的(太陽與地球的大小並未成比例繪製)：

橢圓軌道這件事一直要到17世紀的時候才為世人所知，但太陽運動在不同季節快慢不同在古代東亞到了西元6世紀的時候終於發現了：

【隋書卷二十志第十五天文中】

古曆五星並順行，秦曆始有金火之逆。又甘、石並時，自有差異。漢初測候，乃知五星皆有逆行，其後相承罕能察。至後魏末，清河張子信，學藝博通，尤精歷數。因避葛榮亂，隱於海島中，積三十許年，專以渾儀測候日月五星差變之數，以算步之，始悟日月交道，有表裡遲速，五星見伏，有感召向背。言日行在春分後則遲，秋分後則速。

白話文簡單翻譯，北魏末年張子信 (北魏末至北齊初曆學家，生卒年不詳，文中的葛榮亂起於西元526年) 避難躲在海島三十多年，可能是自己做了個渾儀來觀測天體運行，發現了太陽運動非等速率運動，春分後太陽運動開始變慢，秋分後則加速。這是東亞史上第一次發現太陽運動非等速率運動的文字記載，比西方古希臘Hipparchus (約西元前190年 - 西元前120年) 晚了約六百年。當時Hipparchus發現，春分到秋分的天數(約179天)跟秋分到春分(約186天)的天數並不相同。

這件事也暗示著，東亞對於節氣的定義也慢慢在改變，早期東亞使用平氣的方式來定義節氣，因此各節氣間的天數都是相等的，不然如同Hipparchus，其實簡單計算天數，早幾百年就會發現的事，也不一定需要多精密的儀器才會發現，同時西方一直以來都比較重視「春分」，與東亞重視「冬至」不同，所以春分的定義在古代西方較早接近現代的定義。慢慢隨著儀器進步，可以準確測量太陽的黃經赤經的座標，東亞才慢慢意識到這件事，也才將太陽運動的差異應用至曆法中。節氣或太陽運動要怎麼透過渾儀來觀測記錄在下一篇會比較詳細介紹，先看一下史書中還記載了些什麼跟張子信有關的記錄。

【新唐書卷二十七下志第十七下曆三下】

其八《日躔盈縮略例》曰： 北齊張子信積候合蝕加時，覺日行有入氣差，然損益未得其正。至劉焯，立盈縮躔衰術，與四象升降。《麟德曆》因之，更名躔差。凡陰陽往來，皆馴積而變。日南至，其行最急，急而漸損，至春分及中而後遲。迨日北至，其行最舒，而漸益之，以至秋分又及中而後益急。急極而寒若，舒極而燠若，及中而雨晹之氣交，自然之數也。焯術于春分前一日最急，後一日最舒；秋分前一日最舒，後一日最急。舒急同於二至，而中間一日平行。其說非是。當以二十四氣晷景，考日躔盈縮而密于加時。

新唐書中也提到了張子信發現了太陽視運動的非等速率運動，「覺日行有入氣差」，可惜這個「入氣差」的記錄沒有流傳下來，上文後段其實也在批評觀測還是有誤。不過張子信是有學生的：

【疇人傳卷第十一】

張孟賓，受業於張子信，制造新法。以六百一十九為章，四萬八千九百為紀，九百四十八為日法，萬一千九百四十五為斗分。元紀共命，法略旨遠。日月五星並從斗 十一起，盈縮轉度，陰陽分至，與漏刻相符，共日影俱合，循轉無窮。

【隋書卷十七志第十二律曆中】

又有廣平人劉孝孫、張孟賓二人，同知曆事。孟賓受業于張子信，並棄舊事，更制新法。又有趙道嚴，准晷影之長短，定日行之進退，更造盈縮，以求虧食之期。

我們現在知道劉孝孫與張孟賓的曆法可能皆有應用到太陽運動的不等速率運動性質，但其實這幾套曆法沒有正式實施，且也已經失傳，當時留下來的太陽運動記錄已不可考了。

現今最早的記錄是張胄玄的大業曆(西元597年 - 西元618年)，從那時開始曆書中會記載著太陽運動的數據。不過當時的記錄以現在的眼光來看準確度不佳，我們直接看比較成熟的曆書大衍曆(西元729年 - 西元762?年)，後來的曆書都會有這一張日躔表，一些電子化史書的網頁可能會忽略表格沒有將其電子化，先看古書掃描的版本：

日躔表

資料來源：新唐書，https://ctext.org/library.pl?if=gb&file=102423&page=895

電子化的結果如下：

大雪

小雪

立冬

霜降

寒露

秋分

白露

處暑

立秋

大暑

小暑

夏至

芒種

小滿

立夏

穀雨

清明

春分

驚蟄

雨水

立春

大寒

小寒

冬至

定氣

盈二千三百五十三

盈千八百四十五

盈千三百九十

盈九百七十六

盈五百八十八

盈二百一十四

縮二百一十四

縮五百八十八

縮九百七十六

縮千三百九十

縮千八百四十五

縮二千三百五十三

縮二千三百五十三

縮千八百四十五

縮千三百九十

縮九百七十六

縮五百八十八

縮二百一十四

盈二百一十四

盈五百八十八

盈九百七十六

盈千三百九十

盈千八百四十五

盈二千三百五十三

盈縮分

後二千三百五十三

後四千一百九十八

後五千五百八十八

後六千五百六十四

後七千一百五十二

後七千三百六十六

後七千一百五十二

後六千五百六十四

後五千五百八十八

後四千一百九十八

後二千三百五十三

後端

先二千三百五十三

先四千一百九十八

先五千五百八十八

先六千五百六十四

先七千一百五十二

先七千三百六十六

先七千一百五十二

先六千五百六十四

先五千五百八十八

先四千一百九十八

先二千三百五十三

先端

先後數

損百七十六

損百三十八

損百四

損七十三

損四十四

損十六

益十六

益四十四

益七十三

益百四

益百三十八

益百七十六

損百七十六

損百三十八

損百四

損七十三

損四十四

損十六

益十六

益四十四

益七十三

益百四

益百三十八

益百七十六

損益率

朓百七十六

朓三百一十四

朓四百一十八

朓四百九十一

朓五百三十五

朓五百五十一

朓五百三十五

朓四百九十一

朓四百一十八

朓三百一十四

朓百七十六

朓初

朒百七十六

朒三百一十四

朒四百一十八

朒四百九十一

朒五百三十五

朒五百五十一

朒五百三十五

朒四百九十一

朒四百一十八

朒三百一十四

朒百七十六

朒初

朓朒積

其實這樣還是很難閱讀，另外，表中的盈縮、先後、損益、朓朒就是正負號的意思，但不是單純所有的益就是正、損就是負，或是朓就是正、朒就是負，是相對於「先後數」那一欄來看，會隨著「先」或「後」而改變正負的定義，這裡稍複雜，可以先忽略不對照沒關係。若用當代大家比較熟悉的排版及數字來表示的話，結果如下：

定氣	盈縮分	先後數	損益率	脁朒積
冬至	2353	先端	176	朒初
小寒	1845	2353	138	176
大寒	1390	4198	104	314
立春	976	5588	73	418
雨水	588	6564	44	491
驚蟄	214	7152	16	535
春分	-214	7366	-16	551
清明	-588	7152	-44	535
穀雨	-976	6564	-73	491
立夏	-1390	5588	-104	418
小滿	-1845	4198	-138	314
芒種	-2353	2353	-176	176
夏至	-2353	後端	-176	朓初
小暑	-1845	-2353	-138	-176
大暑	-1390	-4198	-104	-314
立秋	-976	-5588	-73	-418
處暑	-588	-6564	-44	-491
白露	-214	-7152	-16	-535
秋分	214	-7366	16	-551
寒露	588	-7152	44	-535
霜降	976	-6564	73	-491
立冬	1390	-5588	104	-418
小雪	1845	-4198	138	-314
大雪	2353	-2353	176	-176

中文字的部分其實就是零。其實這張表的每一欄都可以從「盈縮分」那欄而變來，「先後數」就是「盈縮分」累加，「損益率」則是「盈縮分」除以某個常數 (這裡大約是13.369)，「脁朒積」即損益率累加，或是「先後數」除以同一個常數而來。換句話說要生出這張表，只要有其中一欄的數字，其他欄都算得出來。

這些欄位究竟代表什麼意思？我們會在之後的數篇文章中慢慢揭曉，讓我們先將目光放在「先後數」這一欄，如果好奇看到數字就想做圖，我們把「先後數」這欄畫成圖形試試，看會是什麼樣子呢：

這圖形好面熟啊……？豈不是高中數學教過的sine(正弦)的圖形！？！？

三角函數一直到大明崇禎年間，透過傳教士的幫忙才傳入東亞，徐光啟、鄧玉函、湯若望在西元1631年所寫的【大測】第一次讓三角函數出現在東亞的土地上，正弦這個名稱也是那時候翻譯出來的。

那這張圖是什麼呢？

還有另一個值得注意的事是，這張圖的數字，一定有人為修正過。因為我們現在知道，這張圖所觀測的東西，如果從「冬至」算起，不可能是這麼漂亮從0開始的sine圖形。

早期的圖形就沒那麼漂亮了。在現存最早引入這種表格的大業曆(西元597年 - 西元618年)中，把相同的表格畫出來會是長這個樣子的 (下兩張圖形如果查詢原史書的記載，有明顯傳抄錯誤的地方，筆者有自行幫忙更正了)：

這張圖就很明顯比較像是觀測的結果了，因為至少不是對稱的。譬如過了數年的皇極曆(完成於西元604年，未實行)就已經刻意操作數字讓他慢慢對稱了(見下圖)，之所以會覺得操作過最大原因是因為我們以現代的眼光來看會知道從冬至起觀測，冬至那欄不可能是0，而且形狀應該比較接近大衍曆(西元729年 - 西元762?年)的sine圖形，這裡的數字卻又對稱很漂亮，連觀測的誤差都沒有。

跟讀者們說聲抱歉，要好花幾篇的篇幅來解釋我們到底看到了什麼東西，真的是sine的圖形？為什麼會是sine的圖形？到底在觀測什麼？這觀測的結果是準確的嗎？這對於曆法的制定或是天體運行的運算推測有什麼幫助呢？古人發現了這張其實長得很像sine的圖形嗎？除了最後一個問題的答案是很單純的：沒發展三角函數很難知道這是sine的圖形，其他的問題在之後幾篇會慢慢分解！





參考文獻：

陳美東。日躔表之研究。

中國數理天文學。2008年。曲安京著。科學出版社。